- 二一组卷

题型：实践探究题题类：难易度：困难

甘肃省兰州市第十一中学2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型．

【全等模型】如图1，已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ ，垂足分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．易证： $\text{[math]}$ ．

（1）①如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ __________；

②如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标，点 $\text{[math]}$ 的坐标．

【模型应用】（2）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 向外作正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的高，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

【拓展探究】（3）如图4， $\text{[math]}$ 的图象分别交 $\text{[math]}$ 轴和 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 是第二象限内一点，使 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标．

举一反三

正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（　　）

如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展平后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，下列结论：①AE=AG；②tan∠AGE=2；③S=S_{四边形EFOG}；④四边形ABFG为等腰梯形；⑤BE=2OG，则其中正确的结论个数为（）。

如图，正方形A₁B₁P₁P₂的顶点P₁、P₂在反比例函数y= $\text{[math]}$ （x＞0）的图象上，顶点A₁、B₁分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P₂P₃A₂B₂ ，顶点P₃在反比例函数y= $\text{[math]}$ （x＞0）的图象上，顶点A₂在x轴的正半轴上，则P₂点的坐标为{#blank#}1{#/blank#} ，P₃的坐标为{#blank#}2{#/blank#} ．

（1）如图1，4条直线l₁、l₂、l₃、l₄是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是2cm，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D分别在l₁、l₃、l₄、l₂上，求该正方形的面积；

（2）如图2，把一张矩形卡片ABCD放在每格宽度为18mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠1=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0， $\text{[math]}$ ），点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．

如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，点E为边 $\text{[math]}$ 上任一点（不与C、D重合），作射线 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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