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题型：实践探究题题类：难易度：困难

浙江省杭州市萧山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

综合与实践：数学课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答：

问题情境：如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上动点，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，满足 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ．

圆圆同学提出的问题：探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系；

方方同学提出的问题：探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系；

经过小组讨论，第一小组提出解决问题的思路：取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，可以证明： $\text{[math]}$ ，从而得到对应线段相等 $\text{[math]}$

请你继续完成以下问题：

（1）、特例探究：从特殊到一般是研究几何问题的常用方法，如图1，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 这两条线段长度之间的数量关系　　　　；

（2）、数学思考：如图2，当 $\text{[math]}$ 时，

① $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 这两条线段长度之间的数量关系：　　　　；

②探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这三条线段长度之间的数量关系得：　　　　；并写出探究过程；

（3）、延伸拓展：如图3，当 $\text{[math]}$ 时，探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这三条线段长度之间的数量关系得：　　　　；并写出探究过程．

举一反三

我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，那么该三角形的面积等于{#blank#}1{#/blank#} ．

图a、图b是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．

已知△ABC是等边三角形，点D在BC边上，点E在AB的延长线上，将DE绕D点顺时针旋转120°得到DF.

如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，…是分别以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，…为直角顶点，一条直角边在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…均在反比例函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的图象上.则 $\text{[math]}$ 的值为（）

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为直线AC上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交直线BC于点 $\text{[math]}$ 。

如图，已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，垂足分别是点E、F，求证： $\text{[math]}$ ．

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