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题型：证明题题类：难易度：普通

浙江省杭州市西湖区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，且满足 $\text{[math]}$ ．

（1）、证明： $\text{[math]}$ ；

（2）、若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

举一反三

如图，用四根木条钉成矩形框 $\text{[math]}$ ，把边 $\text{[math]}$ 固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变(四力形具有不稳定性)．

如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边的中点， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 边上的点，若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为{#blank#}1{#/blank#}

如图，在矩形 ABCD 中，将 $\text{[math]}$ 沿对角线 BD 翻折得到 $\text{[math]}$ 交 AD 于点 O．

【问题背景】在复习角平分线性质的时候，聪明的琪琪同学发现关于三角形角平分线的一个结论：如图①，已知 $\text{[math]}$ 是三角形 $\text{[math]}$ 的角平分线，可以得到 $\text{[math]}$ ．琪琪同学的证明思路是这样的：如图②，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，构造相似三角形可以证明 $\text{[math]}$ ．

【尝试证明】请你参照琪琪同学的思路，利用图②证明该结论；

【知识迁移】利用以上结论进行计算：若在图①中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______；

【应用拓展】如图③，已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．（直接写出结果）

如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=10𝑐𝑚，𝐵𝐶=20𝑐𝑚，点P从点A开始沿AB边向点B以2𝑐𝑚/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点𝐶以4𝑐𝑚/s的速度移动.如果点P，Q分别从点𝐴𝐵同时出发，那么经过{#blank#}1{#/blank#}s后，△𝑃𝐵𝑄与△𝐴𝐵𝐶相似．

如图， $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，它的外角 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点D，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

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