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题型：解决问题题类：难易度：普通

2024.9.22重庆市西南大学附属中学数学竞赛选拔

已知任意一个正整数n都可以进行分解： $\text{[math]}$ {p、q是正整数，且 $\text{[math]}$ }，在n的所有种分解中，如果 $\text{[math]}$ 两因数之差的绝对值最小，我们就称 $\text{[math]}$ 是n的最佳分解，并规定 $\text{[math]}$ ，如12可以分解成 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 是12的最佳分解，所以 $\text{[math]}$ .

（1）、求 $\text{[math]}$ .（直接写出结果）

（2）、如果一个正整数m（ $\text{[math]}$ ）只有1与m本身两个正因数，则m成为质数，若质数m满足 $\text{[math]}$ ，求m的值；

（3）、是否存在正整数n满足 $\text{[math]}$ ，若存在，求n的值，若不存在，说明理由。

举一反三

对自然数a和n，规定 $\text{[math]}$ 。例如 $\text{[math]}$ ，那么，1▽2+2▽2+3▽2+……+99▽2={#blank#}1{#/blank#}。

在数的学习中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如下列两种数：

材料一：一个N位正整数，若它的第一位数可以被 1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，……一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“优数”。如： 249 的第一位数 “2”可以被1整除，前两位数“24"可以被2整除，“249”可以被3整除，则249是一个“优数”。

材料二：若一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数。如： 4=2² ，则4是完全平方数。

一个三位自然数，若百位上的数字恰好等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个三位数为 “欢乐数”．例如：在自然数 321 中， $\text{[math]}$ ，则 321 是“欢乐数”；在自然数 936 中， $\text{[math]}$ ，则 936 是 “欢乐数”。

(数的整除) 材料 1：一个三位自然数 $\text{[math]}$ ，若百位上的数字与十位上的数字之积减去百位上的数字与十位上的数字之和所得之差，恰好等于个位上的数字，即 $\text{[math]}$ ，则称这个三位数为 “ 2020 ”数。例如；自然数 231 ，因为数字 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，所以 231 是 “ 2020 ” 数。

材料 2 ：若一个整数各个数位上的数字之和能被 9 整除，则这个整数一定能被 9 整除。例如三位数 108 的各个数位上的数字和为： $\text{[math]}$ ，所以 108 一定能被 9 整除。

北师大版七年级数学教材里有一章学习整式的乘法，其中有一乘法公式：平方差公式，内容如下： “两数之和与这两数之差的积等于这两数的平方之差，用符号表示为： $\text{[math]}$ ． "

例如： $\text{[math]}$ ；反过来也成立：即两数的平方之差等于这两数之和与这两数之差的积，用符号表示为： $\text{[math]}$ ．请应用你所学知识和以上材料提供的信息计算：

在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数一"金典数"。定义：对于三位自然数N ，各位数字都不为0，且它的百位数字的2倍与十位数字和个位数字之和恰好能被7整除，则称这个自然数N为“金典数”，例如：415是金典数”。因为4，1，5都不为0，且 $\text{[math]}$ ， 14能被7整除；412不是“金典数”，因为 $\text{[math]}$ ， 11不能被7整除。

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