- 二一组卷

题型：解决问题题类：难易度：普通

【2019.日期不详】重庆一外（重庆实验外国语学校）招生数学真卷(八

(数的整除) 材料 1：一个三位自然数 $\text{[math]}$ ，若百位上的数字与十位上的数字之积减去百位上的数字与十位上的数字之和所得之差，恰好等于个位上的数字，即 $\text{[math]}$ ，则称这个三位数为 “ 2020 ”数。例如；自然数 231 ，因为数字 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，所以 231 是 “ 2020 ” 数。

材料 2 ：若一个整数各个数位上的数字之和能被 9 整除，则这个整数一定能被 9 整除。例如三位数 108 的各个数位上的数字和为： $\text{[math]}$ ，所以 108 一定能被 9 整除。

（1）、阅读材料 1 ，请判断 725 是否为 “ 2020 ”数，并说明理由；

（2）、根据材料 1 和 2 ，求所有小于 600 且能被 9 整除的“ 2020 ”数。

举一反三

有一个九位数 $\text{[math]}$ 的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数 $\text{[math]}$ 可被2整除，三位数 $\text{[math]}$ 可被3整除，四位数 $\text{[math]}$ 可被4整除，……依此类推，九位数 $\text{[math]}$ 可被9整除。请问这个九位数 $\text{[math]}$ 是多少？

对于数a，b 规定运算“※”，a，b表示两个数，记为：a※b=2×a×b- $\text{[math]}$ b．求 8※(4※16){#blank#}1{#/blank#}。

目前日期的流行记法是采用6位数字，即将表示年份的后两位数字记为最左边，中间两个数字表示月份，最末两个数字表示日期(遇有月或日是个位数，前面加0，例如1976年4月5日记为760405)。例如： 1993年11月28日记为931128，若这个六位数恰好被88整除，这样的日期被看作“吉利日”，那么从1993年11月29日到1993年底还有哪些日期是“吉利日”？

一个正整数的各位数字都相同，我们称这样的数为 “称心数”，如 $\text{[math]}$ ，对任意一个三位数 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为 “相异数”，将一个 “相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为 $\text{[math]}$ ，如 $\text{[math]}$ ，对调百位与十位上的数字得到 213 ，对调百位与个位上的数字得到 321 ，对调十位与个位上的数字得到 132 ，这三个新三位数的和 $\text{[math]}$ ．

定义新运算：a※b=(a+3)×(b×3)，已知m※n=1024，如果m不变，n 扩大到原来的4倍，则积是( )。

阅读材料：

材料一：一个大于1的正整数，若被N除余1，被 $\text{[math]}$ 除余1，被 $\text{[math]}$ 除余1，...，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“强N数（N取最大）”。例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2除余1，那么73为“强4数”（要求N最大，因此它不是“强3数”）.

材料二：设N ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ...，3，2的最小公倍数为k ，那么“强N数”可以表示为 $\text{[math]}$ （n为正整数）.例如：4，3，2的最小公倍数为12，那么“强4数”可以表示为 $\text{[math]}$ （n为正整数）。

解答下列问题：

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