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题型：解答题题类：难易度：困难

湖北省部分学校2025届高三上学期第一次大联考（一模）数学试题

当一个函数值域内任意一个函数值 $\text{[math]}$ 都有且只有一个自变量 $\text{[math]}$ 与之对应时，可以把这个函数的函数值 $\text{[math]}$ 作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量 $\text{[math]}$ 作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数.例如，由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，通常用 $\text{[math]}$ 表示自变量，则写成 $\text{[math]}$ ，我们称 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为反函数.已知函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为反函数，若 $\text{[math]}$ 两点在曲线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 两点在曲线 $\text{[math]}$ 上，以 $\text{[math]}$ 四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线 $\text{[math]}$ 垂直，则我们称这个矩形为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的“关联矩形”.

（1）、若函数 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在曲线 $\text{[math]}$ 上.

（i）求曲线 $\text{[math]}$ 在点A处的切线方程；

（ii）求以点A为一个顶点的“关联矩形”的面积.

（2）、若函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S.证明： $\text{[math]}$ .（参考数据： $\text{[math]}$ ）

举一反三

定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x₁ ， x₂（a＜x₁＜x₂＜b）满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x³﹣x²+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（　　）

已知函数y=xlnx

（1）求这个函数的导数；

（2）求这个函数的图象在点x=1处的切线方程．

已知函数f（x）=xlnx﹣ $\text{[math]}$ x²﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．

已知函数f（x）=e^x+2（x＜0）与g（x）=ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）

若曲线 $\text{[math]}$ 存在两条垂直于y轴的切线，则m的取值范围为{#blank#}1{#/blank#}.

已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的零点构成的集合的元素个数为3，则m的取值范围是{#blank#}1{#/blank#}.

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