广东省广州市白云艺术中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题

修改时间：2025-03-10 浏览次数：2 类型：期中考试编辑

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题：5分，共40分

1. 已知复数 $\text{[math]}$ （i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互相垂直，则 $\text{[math]}$ 的关系（）

A . 共线 B . 垂直 C . 不垂直也不平行 D . 都有可能

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3. 如图所示，梯形 $\text{[math]}$ 是平面图形 $\text{[math]}$ 用斜二测画法得到的直观图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则平面图形 $\text{[math]}$ 中对角线 $\text{[math]}$ 的长度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于（）

A . 4 $\text{[math]}$ B . 4 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，D为AB的中点，E为CD的中点，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为基底，则向量 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该青铜器的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在正方体的表面上运动，且满足 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 点 $\text{[math]}$ 可以是棱 $\text{[math]}$ 的中点 B . 线段 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . 点 $\text{[math]}$ 的轨迹是正方形 D . 点 $\text{[math]}$ 轨迹的长度为 $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，都分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知向量 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 与向量 $\text{[math]}$ 平行的单位向量仅有 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$

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10. 设 $\text{[math]}$ 为复数( $\text{[math]}$ 为虚数单位)，下列命题正确的有（）

A . 复数 $\text{[math]}$ 的共轭复数的虚部为 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$

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11. 如图是正方体的平面展开图关于这个正方体，以下列正确的是（）

A . ED与NF所成的角为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 平面AFB C . $\text{[math]}$ D . 平面 $\text{[math]}$ 平面NCF

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，

12. 已知向量 $\text{[math]}$ ，若B，C，D三点共线，则 $\text{[math]}$ ．

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13. 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端D的仰角为 $\text{[math]}$ ，他又沿着泉标底部方向前进34.2米，到达B点，又测得泉标顶端D的仰角为 $\text{[math]}$ ，则小明同学求出泉标的高度约为米.
（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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14. 已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 $\text{[math]}$ ，则球的表面积是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说面、证明过程或演算步骤

15. 已知复数 $\text{[math]}$ ， m为实数．

（1）若z是纯虚数，求m的值；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求m的值；

（3）若 $\text{[math]}$ ﹐求 $\text{[math]}$ 的值．

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16. 已知向量 $\text{[math]}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求向量 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）若 $\text{[math]}$ 是单位向量，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ .

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17. 在 $\text{[math]}$ 中，设角 $\text{[math]}$ 所对的边长分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求角 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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18. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D是BC边的中点， $\text{[math]}$ ．

（1）求直三棱柱 $\text{[math]}$ 的体积；

（2）求证： $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ．

（3）一只小虫从点 $\text{[math]}$ 沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离．

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19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $\text{[math]}$ 的三个内角均小于 $\text{[math]}$ 时，使得 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 即为费马点；当 $\text{[math]}$ 有一个内角大于或等于 $\text{[math]}$ 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$

（1）求 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的费马点，求 $\text{[math]}$ ；

（3）设点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的费马点， $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的最小值．

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广东省广州市白云艺术中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题：5分，共40分

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，都分选对的得部分分，有选错的得0分．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说面、证明过程或演算步骤

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