- 二一组卷

题型：解答题题类：难易度：困难

湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

在平面直角坐标系中，若关于x的函数y=ax²+bx+c（x＞0）的图像记为Q₁ ，将Q₁的图像绕着原点旋转180°得到图像Q₂ ，我们把Q₁和Q₂合起来的总图像称为y=ax²+bx+c的"青一对称"图像.

（1）、若A(−1010，m)在y=2x+4的"青一对称"图像上，则m=，

（2）、若B(n，7)在y=x²-4x-5的"青一对称"图像上，求n的值；

（3）、当二次函数y=x²-2x+t的"青一对称"图像与直线y=x+1有且只有三个交点时，请求出t的值或取值范围.

举一反三

直线y=ax+m和直线y=bx+n在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为 {#blank#}1{#/blank#}．

关于抛物线 $\text{[math]}$ ，下列说法中错误的是（）

抛物线 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，则当 $\text{[math]}$ 时，x的取值范围是{#blank#}1{#/blank#}．

【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点 $\text{[math]}$ 是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“ $\text{[math]}$ ”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．

【举例】已知点 $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ 图象上．点 $\text{[math]}$ 的“纵横值”为 $\text{[math]}$ ；函数 $\text{[math]}$ 图象上所有点的“纵横值”可以表示为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，所以函数 $\text{[math]}$ 的“最优纵横值”为7．

【问题】根据定义，解答下列问题：

如图，两个全等的等腰直角 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的斜边 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ ．重合，斜边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在一条直线上， $\text{[math]}$ 保持不动， $\text{[math]}$ 以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时停止运动．设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为 $\text{[math]}$ 个平方单位，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 函数关系的图象大致是（）

根据以下素材，探索完成任务．

如何设计抛物线型拱桥的广告牌？
素材1	某文化园搭建一座抛物线型拱桥．如图①，桥在路面的跨度 $\text{[math]}$ 的宽为 $\text{[math]}$ ，桥拱最高处距离路面的距离 $\text{[math]}$ ．	图①
素材2	在实际搭建时，需在桥拱下方安置两个桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩 $\text{[math]}$ ．	图②
素材3	如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆 $\text{[math]}$ ，现要在桥拱下方，横杆 $\text{[math]}$ 的上方设置一个面积为 $\text{[math]}$ 的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在 $\text{[math]}$ 上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称．	图③
问题解决
任务1	确定桥拱形状	如图①，以A $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 为坐标原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
任务2	确定桥墩位置	求两个桥墩之间的距离（不考虑桥墩的宽度）；
任务3	拟定设计方案	给出一种广告牌的设计方案，并根据建立的坐标系，求出矩形广告牌右上方顶点的坐标．

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