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题型：综合题题类：难易度：困难

湖南省长沙市麓山国际洋湖实验学校2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 两点，且与直线 $\text{[math]}$ 交于一点 $\text{[math]}$ ．

（1）、求抛物线的解析式；

（2）、若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一点，探究 $\text{[math]}$ 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）、若点 $\text{[math]}$ 为抛物线对称轴上一点，点 $\text{[math]}$ 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是以 $\text{[math]}$ 边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

举一反三

如图，AC是菱形ABCD的对角线，点M、N分别在边AD和BC上，BM、NM分别交AC于点E、F，AE=EF=FC，则△BMN与△ABC的面积比值是（　　）

如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )

鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：［注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码］

鞋长（cm）	16	19	21	24
鞋码（号）	22	28	32	38

（1）设鞋长为x ， “鞋码”为y ，试判断点（x ， y）在你学过的哪种函数的图象上？
（2）求x、y之间的函数关系式；

（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？

如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（1，2）.将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在双曲线y＝ $\text{[math]}$ 的一个分支上，过C点的直线y＝﹣x+b与双曲线的另一个交点为E，则△EOC的面积为{#blank#}1{#/blank#}.

平面直角坐标系中有点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，则点C的坐标是{#blank#}1{#/blank#}.

某超市经销一种鱼，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量 $\text{[math]}$ （千克）与销售单价 $\text{[math]}$ （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：

销售单价 $\text{[math]}$ （元/千克）	55	60	65	70
销售量 $\text{[math]}$ （千克）	70	60	50	40

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