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题型：解答题题类：难易度：困难

广西壮族自治区钦州市浦北县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

综合与探究如图1，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，过点D作 $\text{[math]}$ 轴垂足为E．

（1）、请直接写出点A，B，C坐标以及直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

（2）、若 $\text{[math]}$ 的面积为S，请求出S关于m的函数关系式，并求出当m的值为多少时，S的值最大？最大值为多少？

（3）、如图2，将 $\text{[math]}$ 以点D为中心，顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ （点A与点 $\text{[math]}$ 对应），则当 $\text{[math]}$ 恰好落在抛物线上时，求出此时点D的坐标．

举一反三

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60^° ，点B、C分别落在点B'、C'处，联结BC'与AC边交于点D，那么 $\text{[math]}$ ={#blank#}1{#/blank#}．

如图，线段AB的端点A、B分别在x轴和y轴上，且A（2，0），B（0，4），将线段AB绕坐标原点O逆时针旋转90°得线段A'B'，设线段AB'的中点为C，则点C的坐标是{#blank#}1{#/blank#}．

已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．

如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ （-1，0）、 $\text{[math]}$ （5，0）.

将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）．如图2，AE与BC交于点M ， AC与EF交于点N ， BC与EF交于点P ．

已知，如图，一次函数 $\text{[math]}$ 与x轴、y轴分别交于点A和点B，A点坐标为（3，0），∠OAB=45°．

（1）求一次函数的表达式；

（2）点P是x轴正半轴上一点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰Rt△BPC，连接CA并延长交ｙ轴于点Q．

①若点P的坐标为（4，0），求点C的坐标，并求出直线AC的函数表达式；

②当P点在x轴正半轴运动时，Q点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请求出它的变化范围．

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