- 二一组卷

题型：解答题题类：难易度：普通

北京市海淀区中国人民大学附属中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

有这样一个问题：

如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E，F在对角线 $\text{[math]}$ 上，满足 $\text{[math]}$ ，点M，N分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，当a取何值时，存在M、N，使得四边形 $\text{[math]}$ 是正方形？

小宇为了解决这个问题，进行了如下探究，请补充完整：

假设符合题意的正方形存在，

（1）、画出示意图，如图2，由于四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，那么它一定是平行四边形，由平行四边形的性质①______（填依据），可知 $\text{[math]}$ ，结合 $\text{[math]}$ 是矩形，可得 $\text{[math]}$ ，于是 $\text{[math]}$ ，因此，四边形 $\text{[math]}$ 的对角线交点恰好是 $\text{[math]}$ 的中点，如图3所示．

（2）、在图3的基础上，由于 $\text{[math]}$ 是正方形，那么它还同时是菱形和矩形．于是由菱形的性质②______（填依据），可得 $\text{[math]}$ 于O，于是 $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ；又由矩形的性质可得 $\text{[math]}$ ，这样就能够确定点E，F，M，N的位置了．