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题型:实践探究题 题类: 难易度:普通

重庆市第七中学校2024-2025学年八年级上学期9月月考数学试题

北师大版初中数学教科书七年级下册第23页告诉我们,对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积,可以得到一个数学等式.例如由图①可以得到 , 这样就用图形面积验证了完全平方公式.请解答下列问题:

(1)、类似地,写出图②中所表示的数学等式________________;
(2)、如图③的图案被称为“赵爽弦图”,是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智,是我国古代数学的骄傲.这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.此图由四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中空的部分是一个小正方形,已知直角三角形的两直角边分别为 , 若 , 求大正方形的面积;
(3)、如图④,在边长为的正方形各边上分别截取 , 当时,求正方形的面积.
举一反三
【综合与实践】在一次综合实践活动课上,王老师给每位同学各发了一张正方形纸片,请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点.

【操作探究】

“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后,进行了如下操作:

第1步:如图1所示,先将正方形纸片对折,使点A与点重合,然后展开铺平,折痕为

第2步:将边沿翻折到的位置;

第3步:延长于点 , 则点边的三等分点.

证明过程如下:连接

正方形沿折叠,

, ①,

由题意可知的中点,设(个单位), , 则

中,可列方程:②,(方程不要求化简)

解得:③,即边的三等分点.

“破浪”小组是这样操作的:

第1步:如图2所示,先将正方形纸片对折,使点与点重合,然后展开铺平,折痕为

第2步:再将正方形纸片对折,使点与点重合,再展开铺平,折痕为 , 沿翻折得折痕于点

第3步:过点折叠正方形纸片 , 使折痕

【过程思考】

(1)“乘风”小组的证明过程中,三个空的所填的内容分别是①:           , ②:          , ③:         

(2)结合“破浪”小组操作过程,判断点是否为边的三等分点,并证明你的结论;

【拓展提升】

(3)如图3,在菱形中,上的一个三等分点且 , 连接 , 作点关于的对称点为 , 连接并延长与菱形的边交于点 , 请依照上述描述在图3中将图补全,并直接写出的长___________.

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