- 二一组卷

题型：证明题题类：难易度：困难

湖南省益阳市沅江市南大膳镇小波学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）、问题发现

如图1，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是______， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系是______；

（2）、类比探究

将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按逆时针方向旋转任意角度得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N，请结合图2说明理由；

（3）、迁移应用

如图3，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转一定角度得到 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 落到 $\text{[math]}$ 边上时，连接 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

举一反三

四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90 °，tan∠ABD= $\text{[math]}$ ，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD={#blank#}1{#/blank#}．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别交AB，AC于点M，N；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN的长为{#blank#}1{#/blank#}．

如图，AB是⊙O的一条弦，且AB＝ $\text{[math]}$ ，点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB于点D，∠AEC＝30°，连接OA．求⊙O的半径R．

如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：

在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换．

【问题提出】

（1）如图①，在 $\text{[math]}$ 中，点D为斜边AB上的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，小明运用图形旋转的方法，将 $\text{[math]}$ 绕点D逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ （如图②所示），请你写出阴影部分的面积：；

【问题探究】

（2）如图③，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ ，垂足为E，求AE的长；

【问题解决】

（3）如图④，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将BC绕点B逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段BE，连接AE．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

如图，△ABC和△DCE分别是边长为4和2的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连结BD.求BD的长.

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