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题型：证明题题类：难易度：困难

广西壮族自治区南宁市青秀区三美学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题

如图1，在等边三角形 $\text{[math]}$ 中，点E为边 $\text{[math]}$ 上任意一点，点D在边 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ．

（1）、当点E为 $\text{[math]}$ 的中点时，（如图1）则有 $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ （填“ $\text{[math]}$ ”“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ”）．

（2）、猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的猜想．

（3）、若等边 $\text{[math]}$ 的边长为1，E在直线 $\text{[math]}$ 上，点D在直线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

举一反三

如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．

在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．

下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．

已知：⊙O．

求作：⊙O的内接正三角形．

作法：如图，

作直径AB；

②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；

③连接AC，AD，CD．

所以△ACD就是所求的三角形．

根据小董设计的尺规作图过程，

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 异侧的两点， $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ .

如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 边的中点，F为 $\text{[math]}$ 的延长线上一点，过点F 作 $\text{[math]}$ 于G点，并交 $\text{[math]}$ 于E点，试说明下列结论成立的理由：

如图，半圆O的直径AB＝10，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O^' ，与AB交于点P，求AP的长．

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