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题型：实践探究题题类：难易度：困难

广东省揭阳榕城区2023-2024学年八年级上学期数学期中试题

问题提出：

（1）、同学们在探索求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值的过程时，老师进行了如下的引导，如图1， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，分别过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ．

①则 $\text{[math]}$ 的长为 ▲ （用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

②如图2，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于 $\text{[math]}$ ，构造长方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ 三点共线， $\text{[math]}$ 的值最小，求最小值．

（2）、问题解决：请用上述的构图法，说明作图过程并求出代数式 $\text{[math]}$ 的最小值．

举一反三

如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为{#blank#}1{#/blank#}

已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC．

如右图所示AB＝AC，则C表示的数为{#blank#}1{#/blank#}.

如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为（）

【问题呈现】

$\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是直角三角形， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的位置关系．

（1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的位置关系：____________；

（2）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

【拓展应用】

（3）当 $\text{[math]}$ 时，将 $\text{[math]}$ 绕点C旋转，使 $\text{[math]}$ 三点恰好在同一直线上，求 $\text{[math]}$ 的长．

如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D、E在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ ．

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