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题型：作图题题类：难易度：普通

北京市门头沟区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

下面是小东设计的尺规作图过程．

已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，

求作：点 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，且到 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的距离相等．

作法：

$\text{[math]}$ 如图，以点 $\text{[math]}$ 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ 分别以点 $\text{[math]}$ 为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ 画射线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

所以点 $\text{[math]}$ 即为所求．

根据小东设计的尺规作图过程：

（1）、使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）、完成下面的证明．

证明：过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中，

∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ (______)，

∴ $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ______，

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

又∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ (______)．

举一反三

如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）

已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．

求证：OC是∠AOB的平分线．

如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 $\text{[math]}$ MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交变BC于点D，若CD=4，AB=15，求△ABD的面积．

如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，垂足为D，BE平分∠ABC．∠A=30°，∠ACB=126°。

求∠DBE的度数。

如图，直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

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