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题型：综合题题类：难易度：困难

广东省汕头市濠江区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于M，N两点，若在y轴上存在点T，使得 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则称M，N两点相互等垂，其中一个点叫做另一个点的等垂点，已知点A的坐标是 $\text{[math]}$ ．

（1）、如图①，在点 $\text{[math]}$ 中，点A的等垂点是（选填“B”“C”或“D”）．

（2）、如图②，若一次函数 $\text{[math]}$ 的图像上存在点A的等垂点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 点的坐标；

（3）、若一次函数 $\text{[math]}$ 的图象上存在无数个点A的等垂点，试写出该一次函数的所有表达式．

举一反三

如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA．

如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．

如图，已知A（0，8），B（6，0），点M、N分别是线段AB、AO上的动点，点M从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，点N从点A出发，以每秒1个单位的速度向点O运动，点M、N中有一个点停止时，另一个点也停止。设运动时间为t秒。

如图，在△ABC中，∠C＝90°．

如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点B（0，b），且a、b满足 $\text{[math]}$ ．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥ BD于 F，交AB于E，求证∠BDO=∠EDA；

（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围．

如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点 $\text{[math]}$ 为AD边上一个动点（不与点D，E重合）连接OE，将 $\text{[math]}$ 沿OE折叠，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 处，OM交边AD于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，MF的长是（）

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