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题型：阅读理解题类：难易度：普通

福建省莆田市城厢区顶墩实验学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ 的取值范围．

（1）、小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：

①延长 $\text{[math]}$ 到Q使得 $\text{[math]}$ ；

②再连接 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 集中在 $\text{[math]}$ 中；

③利用三角形的三边关系可得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是______．

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．

（2）、请写出图1中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系并证明；

（3）、思考：已知，如图2， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试探究线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并加以证明．

举一反三

如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．

在等腰三角形ABC中，底边BC为y，腰长AB长为x，若三角形ABC的周长为12.

阅读下列材料：

小明遇到这样问题：

如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，在AB上取一点D，在AC延长线上取一点E，若 $\text{[math]}$ ，判断PD与PE的数量关系.

小明通过思考发现，可以采用两种方法解决向题：

方法一：过点D作 $\text{[math]}$ ，交BC于F，即可解决向题；

方法二：过点D、点E分别向直线BC引垂钱，垂足分别是F、G，也可解决问题.

如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝10.点D、E、F分别是相应边上的中点，则四边形DEBF的周长等于{#blank#}1{#/blank#}.

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数是{#blank#}1{#/blank#}．（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试说明 $\text{[math]}$ 的理由．

解： $\text{[math]}$ 已知 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 已知 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 等式性质 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

又 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

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