- 二一组卷

题型：作图题题类：难易度：困难

河北省邢台市南宫市私立丰翼中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）、求抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式和顶点坐标；

（2）、已知点 $\text{[math]}$ 在拋物线 $\text{[math]}$ 上，且到 $\text{[math]}$ 轴的距离不超过 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）、已知点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出抛物线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上方的一段，记为 $\text{[math]}$ ，将该胶片向下平移 $\text{[math]}$ 个单位长度．

①若平移后的 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上方的部分只有一个整点（横、纵坐标都是整数的点），请直接写出满足条件的整数 $\text{[math]}$ 的值；

②若平移后的 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 只有一个公共点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

举一反三

已知，如图，过点E(0，-1)作平行于轴的直线 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 上的两点A、B的横坐标分别为1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF，DF．

（1）求点A，B，F的坐标；
（2）求证： $\text{[math]}$ ；
（3）点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 对称轴右侧图象上的一动点，过点P作 $\text{[math]}$ 交X轴于点Q，是否存在点P使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．