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题型：作图题题类：难易度：普通

北京市丰台怡海中学2023~2024学年八年级上学期期中数学试题

已知图 $\text{[math]}$ ，请用尺规作图法在射线 $\text{[math]}$ 上找一点P，使射线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．小明的作图方法如下：

①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交 $\text{[math]}$ 于点N，交 $\text{[math]}$ 于点M．

②分别以点M，N为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径画弧，在 $\text{[math]}$ 的内部相交于点E．

③画射线 $\text{[math]}$ ，交射线 $\text{[math]}$ 于点P，点P即为所求．

小刚说：“我有不同的作法，如图②所示，只需要以点C为圆心， $\text{[math]}$ 为半径画弧，交射线 $\text{[math]}$ 于点P，画射线 $\text{[math]}$ ，也能够得到 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ． ”请回答：

（1）、请在图1中补全小明的作图过程（要求尺规作图，保留作图痕迹）．小明在作图的过程中，若连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 就可以构造出一对全等三角形，它们是______ $\text{[math]}$ ______，全等的依据是______．

因为全等三角形的对应角相等，所以能够得到 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ；

（2）、对于小刚的作图方法证明如下：

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ （____________）（填依据）

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ______，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴射线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；

（3）、点P到直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的距离相等，理由是______．

举一反三

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC=90°+ $\text{[math]}$ ∠A； ②EF=BE+CF；③设OD=m，AE+AF=n，则S_△AEF= $\text{[math]}$ mn； ④EF是△ABC的中位线．其中正确的结论是{#blank#}1{#/blank#}．

如图，已知AB∥CD，∠1=62°，则∠2的度数是（）

等腰三角形中有一个内角为40°，则其底角的度数是{#blank#}1{#/blank#}．

感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．

已知，如图，在▱ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF={#blank#}1{#/blank#}cm.

如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为( )

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