- 二一组卷

题型：证明题题类：难易度：困难

2024年辽宁省阜新市太平区中考数学二模试题

定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．

（1）、下列选项中一定是“等补四边形”的是________；

A．平行四边形； B．矩形； C．正方形； D．菱形

（2）、如图1，在边长为a的正方形 $\text{[math]}$ 中，E为 $\text{[math]}$ 边上一动点（E不与C、D重合）， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，过F作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H．

①试判断四边形 $\text{[math]}$ 是否为“等补四边形”并说明理由；

②如图2，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕A点逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，判断线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 的数量关系，并求 $\text{[math]}$ 的周长；

③若四边形 $\text{[math]}$ 是“等补四边形”，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

举一反三

如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合）且始终保持BP=BQ，AQ⊥QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连结PQ．

（1）求证：△APQ≌△QCE；

（2）求∠QAE的度数；

（3）设BQ=x，当x为何值时，QF∥CE，并求出此时△AQF的面积．

把两块含45°角的直角三角板按图1所示的方式放置，点D在BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．

在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．

如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点0，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF：③A0=0E：④S_△A0B=S_{四边形DE0F}中，正确的有（）

如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接FC

．

【问题呈现】

如图1， $\text{[math]}$ 的顶点在正方形 $\text{[math]}$ 两条对角线的交点处， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转，旋转过程中， $\text{[math]}$ 的两边分别与正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合）．探索线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

【问题初探】

（1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由；

【问题引申】

（2）如图2，将图1中的正方形 $\text{[math]}$ 改为 $\text{[math]}$ 的菱形， $\text{[math]}$ ，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是______；

【问题解决】

（3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 运动至与 $\text{[math]}$ 点距离恰好为 $\text{[math]}$ 的位置，且 $\text{[math]}$ 旋转至 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的长度为______．

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