- 二一组卷

题型：证明题题类：难易度：困难

广东省云浮市罗定第一中学2022-2023学年九年级下学期期末数学试题

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）、求该抛物线的解析式；

（2）、求证： $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形；

（3）、将 $\text{[math]}$ 绕点O顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．

举一反三

在如图所示的5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，按下列要求画图或解答；

（1）画一条线段AB使它的另一端点B落在格点上（即小正方形的顶点），且AB=2 $\text{[math]}$ ；

（2）以（1）中的AB为边画一个等腰△ABC，使点C落在格点上，且另两边的长都是无理数；

（3）△ABC的周长为多少，面积为多少．

如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过图形（阴影部分）的面积为{#blank#}1{#/blank#}．（结果保留π）

在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则cosB的值是（）

问题背景（1）如图1， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

尝试应用（2）如图2，点D是等边 $\text{[math]}$ 内一点，连接 $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于F，若 $\text{[math]}$ ，求证：点F是 $\text{[math]}$ 的中点．

拓展应用（3）如图3，已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为底边在 $\text{[math]}$ 外作等腰三角形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为________

把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}．

【学科综合】我们知道：光线从空气中射入水中，会发生折射现象（如图1），我们把 $\text{[math]}$ 称为光线从空气射入水中的折射率（其中 $\text{[math]}$ 代表入射角， $\text{[math]}$ 代表折射角）．

【观察实验】为了观察光线从空气射入水中的折射现象，设计了图2所示的实验，用激光笔 $\text{[math]}$ 发射激光，图3是实验的示意图，矩形 $\text{[math]}$ 为水槽的截面图，水槽未注水时， $\text{[math]}$ 点发出的一束激光正好在水槽底端 $\text{[math]}$ 处形成光斑；保持激光入射角度不变，注满水后，光斑移动到 $\text{[math]}$ 点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一直线上，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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