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题型：实践探究题题类：难易度：困难

广东省清远市清城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 叠放在一起，固定矩形 $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 的中点O逆时针旋转 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

（1）、初步发现：在旋转过程中，对角线 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交于点S、T，如图2，则线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 始终存在着怎样的数量关系?请说明理由；

（2）、继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形 $\text{[math]}$ 时，如图2.

①求证：四边形 $\text{[math]}$ 为菱形；

②随着矩形纸片 $\text{[math]}$ 的旋转，四边形 $\text{[math]}$ 的面积会发生变化，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请求出四边形 $\text{[math]}$ 的最大面积与最小面积．

举一反三

如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则的长为( )

如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分面积等于{#blank#}1{#/blank#}

若直角三角形两条直角边的边长分别为 $\text{[math]}$ cm和 $\text{[math]}$ cm，那么此直角三角形斜边长是（）

根据要求作图.

已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，D是 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的弦， $\text{[math]}$ ．

已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D是BC的中点．以BD为直径作 $\text{[math]}$ ，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．

（1）求证：AD是 $\text{[math]}$ 的切线；

（2）若PC是 $\text{[math]}$ 的切线， $\text{[math]}$ ，求PC的长．

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