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题型：实践探究题题类：难易度：困难

广东省清远市清城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 叠放在一起，固定矩形 $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 的中点O逆时针旋转 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

（1）、初步发现：在旋转过程中，对角线 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交于点S、T，如图2，则线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 始终存在着怎样的数量关系?请说明理由；

（2）、继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形 $\text{[math]}$ 时，如图2.

①求证：四边形 $\text{[math]}$ 为菱形；

②随着矩形纸片 $\text{[math]}$ 的旋转，四边形 $\text{[math]}$ 的面积会发生变化，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请求出四边形 $\text{[math]}$ 的最大面积与最小面积．

举一反三

已知：如图，▱ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点．过点B作AC的平行线BF，交CE的延长线于点F，连接AF．

如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形 $\text{[math]}$ 内的一点，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．连结 $\text{[math]}$ ．

如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点G ， AD＝AE ．若AD＝5，DE＝6，则AG的长是（）

某广场内有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 求四边形ABCD空地的面积.

如图，在 $\text{[math]}$ 方格中， $\text{[math]}$ 是格点三角形（三角形的顶点在格点上），按要求画图：

【阅读理解】如图1是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以用下面的方法把它剪拼成一个正方形．拼成的正方形的面积是5，边长是 $\text{[math]}$ ．

【应用探究】

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