- 二一组卷

题型：实践探究题题类：难易度：普通

浙江省舟山市定海区金衢山五校联考2024年初中数学毕业生第三次质量监测试卷

阅读与思考：下面是小姜同学写的一篇数学学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务：

正方形中相等的线段如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，如果点E、F分别在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，垂足为M ，那么 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相等吗？证明你的结论．

对于上面的问题，我是这样思考的：

（1）：_▲_．

反思1：对于两个端点分别在正方形 $\text{[math]}$ 一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，那么这两条线段是否仍然相等呢？

对此可以做进一步探究：

如图2，在正方形 $\text{[math]}$ 中，如果点E、F、G、H分别在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，垂足为M ，那么 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相等吗？证明你的结论．

（2）：_▲_．

反思2：对于两个端点分别在正方形 $\text{[math]}$ 一组对边上的线段，若这样的两条线段相等，那么这两条线段是否一定垂直呢？

对此可以画图说明：

如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中，如果点E、F、G、H分别在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直吗？证明你的结论．

（3）：_▲_．

任务：

（1）、完成笔记中的“我是这样思考的”；

（2）、回答笔记中反思1的问题，并证明；

（3）、回答笔记中反思2的问题，在图3中画图并简要说明．

举一反三

如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，垂足为点O，过点A作射线AE∥BC，点P是边BC上任意一点，连结PO并延长与射线AE相交于点Q，设B，P两点之间的距离为x，过点Q作直线BC的垂线，垂足为R. 下面五个结论，正确的有( )个

①△AOB≌△COB； ②当0<x<10时，△AOQ≌△COP； ③当x =5时，四边形ABPQ是平行四边形；④当x =0或x =10时，都有△PQR∽△CBO；⑤当 $\text{[math]}$ 时，△PQR与△CBO一定相似.