- 二一组卷

题型：实践探究题题类：难易度：困难

湖北省宜昌市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

【方法探究】如下图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系；

嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：

方法1：如下图，在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，可以得到全等三角形，进而解决此问题 $\text{[math]}$

方法2：如下图，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，可以得到等腰三角形，进而解决此问题 $\text{[math]}$

（1）、根据探究，直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系；

（2）、【迁移应用】

如下图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．

（3）、【拓展延伸】

如下图， $\text{[math]}$ 为等边三角形，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 延长线上一动点，连接 $\text{[math]}$ ．以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 上方作等边 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

举一反三

如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，

如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB

如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（）

已知：如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，E、F是对角线 $\text{[math]}$ 上的两点，且 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

如图，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°， ∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于E、F．

（1）如图甲，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；

（2）知识探究：

①如图乙，当顶点G运动到AC的中点时，请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；

②如图丙，在顶点G运动的过程中，若 $\text{[math]}$ ，探究线段EC、CF与BC的数量关系；

（3）问题解决：如图丙，已知菱形的边长为8，BG=7，CF= $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ＞2时，求EC的长度．

（1）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M，N在斜边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，你能求出 $\text{[math]}$ 的长度吗？

小清通过观察，分析，思考，形成了如下思路：

思路一：将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，显然 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ；求出 $\text{[math]}$ 的长度；

思路二：将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，显然 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的长度；

请参考小清的思路，任选一种写出完整解答过程．

（2）【类比探究】如图2，在等边 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．（直接写出答案）

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