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题型：解答题题类：难易度：困难

浙江省温州市永嘉县实验中学2023年九年级中考模拟数学试题

旋转的图形带来结论的奥秘.已知 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ .

初步探索

素材1：

如图①，连接对应点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

素材2：

如图②，以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 边上的高 $\text{[math]}$ 为半径作 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切.

问题解决

（1）（ⅰ）请证明素材1所发现的结论.

（ⅱ）如图2，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ .证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.

深入研究

（2）在 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转得 $\text{[math]}$ .

（ⅰ）如图③，当边 $\text{[math]}$ 恰好经过点 $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为▲ .

（ⅱ）若一时边 $\text{[math]}$ 所在直线恰好经过点 $\text{[math]}$ ，于图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线.（只保留作图痕迹）

（3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值为▲ .

举一反三

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB2＝∠PCB．

（1）求证：PC是⊙O的切线
（2）求证：BC＝ $\text{[math]}$ AB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN ·MC的值．

如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD=1，BD=2，则 $\text{[math]}$ 的值为（　　）

点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H．若BH= $\text{[math]}$ AC，则∠ABC所对的弧长等于{#blank#}1{#/blank#}（长度单位）．

将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（﹣3，0）．

如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点．

如图，已知A，B两点的坐标分别为(40，0)和(0，30)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，同时直线EF由x轴为起始位置以每秒1个单位长度的速度向上平行移动(即EF∥x轴)，并且分别与y轴、线段AB交于点E，F，连接EP，FP，设动点P与直线EF同时出发，运动时间为t秒．

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