- 二一组卷

题型：综合题题类：常考题难易度：困难

山东省青岛市市南区2021-2022学年九年级上学期数学期中试卷

（模型引入）

我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．

（模型探究）

如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE ，过点E作EF⊥AE ，交直线CB于点F ．

（1）、如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；

（2）、如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC ， BE和BF的数量关系．

（3）、（模型应用）
如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F ，过F作FH⊥AE于F ，过H作HG⊥BD于G ．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有个．

（4）、如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE ，过点E作EF⊥AE ，交线段BC于点F ，交线段AC于点M ，连接AF交线段BD于点H ．给出下列四个结论，①AE＝EF；② $\text{[math]}$ DE＝CF；③S_△AEM＝S_△MCF；④BE＝DE+ $\text{[math]}$ BF；正确的结论有个．

（5）、（模型变式）
如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM ，垂足为M ，交∠CBE的平分线与点N ，求证：MD＝MN

（6）、如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F ，连接FM ，则∠FMN和∠NMB之间有怎样的数量关系？请给出证明．

（7）、（拓展延伸）
已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA ．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB ．如图7，在线段BO上截取BE ，使BE＝OA ，连接CE ．若∠OBA+∠OCE＝β ，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．

（8）、如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE ，过点E作EF⊥ED ，交AB于点F ，连接DF ，交AC于点G ，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF于点N ，若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是．

举一反三

我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点（如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），则正方形的腰点共有　{#blank#}1{#/blank#} 个.

如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．

正方形具备而菱形不具备的性质是（）

如图，有两个正方形夹在AB与CD中，且AB∥CD，若∠FEC＝10°，两个正方形临边夹角为150°，则∠1的度数为{#blank#}1{#/blank#}度（正方形的每个内角为90°）

如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是{#blank#}1{#/blank#}.

已知：如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE＝∠CBP，BE＝BP．

求证：

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