- 二一组卷

题型：综合题题类：常考题难易度：困难

山东省青岛市市南区2021-2022学年九年级上学期数学期中试卷

（模型引入）

我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．

（模型探究）

如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE ，过点E作EF⊥AE ，交直线CB于点F ．

（1）、如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；

（2）、如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC ， BE和BF的数量关系．

（3）、（模型应用）
如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F ，过F作FH⊥AE于F ，过H作HG⊥BD于G ．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有个．

（4）、如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE ，过点E作EF⊥AE ，交线段BC于点F ，交线段AC于点M ，连接AF交线段BD于点H ．给出下列四个结论，①AE＝EF；② $\text{[math]}$ DE＝CF；③S_△AEM＝S_△MCF；④BE＝DE+ $\text{[math]}$ BF；正确的结论有个．

（5）、（模型变式）
如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM ，垂足为M ，交∠CBE的平分线与点N ，求证：MD＝MN

（6）、如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F ，连接FM ，则∠FMN和∠NMB之间有怎样的数量关系？请给出证明．

（7）、（拓展延伸）
已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA ．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB ．如图7，在线段BO上截取BE ，使BE＝OA ，连接CE ．若∠OBA+∠OCE＝β ，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．

（8）、如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE ，过点E作EF⊥ED ，交AB于点F ，连接DF ，交AC于点G ，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF于点N ，若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是．

举一反三

如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为(　　)

已知正方形ABC₁D₁的边长为1，延长C₁D₁到A₁ ，以A₁C₁为边向右作正方形A₁C₁C₂D₂ ，延长C₂D₂到A₂ ，以A₂C₂为边向右作正方形A₂C₂C₃D₃（如图所示），以此类推…．若A₁C₁=2，且点A，D₂ ， D₃ ， …，D₁₀都在同一直线上，则正方形A₉C₉C₁₀D₁₀的边长是{#blank#}1{#/blank#} ．

设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：

①a是无理数；

②a可以用数轴上的一个点来表示；

③3＜a＜4；

④a是18的算术平方根．

其中，所有正确说法的序号是（）

如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．

如果正方形BEFG面积为5，正方形ABCD面积为7，则三角形GCE的面积{#blank#}1{#/blank#}

如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝30°；②射线FE是∠AFC的角平分线；③AE²＝AD•AF；④AF＝AB+CF．其中正确结论为是{#blank#}1{#/blank#}．（填写所有正确结论的序号）

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