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题型：综合题题类：模拟题难易度：困难

北京市昌平区2021年中考数学二模试卷

对于平面直角坐标系xOy中的图形M ， N ，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P ， Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ， N间的“闭距离”，记作d（M ， N），特殊地，当图形M与图形N有公共点时，规定d（M ， N）＝0

已知点 $\text{[math]}$ ．

（1）、①求d（点O ，线段AB）；

②若d（线段CD ，直线AB）＝1，直接写出m的值；

（2）、⊙O的半径为r ，若d（⊙O ，线段AB）≤1，直接写出r的取值范围；

（3）、若直线 $\text{[math]}$ 上存在点E ，使d（E ， $\text{[math]}$ ）＝1，直接写出b的取值范围．

举一反三

如图1，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点(不与点A重合)，∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD=∠B．

定义新运算：对于任意有理数a、b ，都有a⊕b=a（a-b）+1，等式的右边是通常的有理数运算，例如2⊕5=2（2-5）+1=2×（-3）+1.

如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点，且AD＝BD，⊙O是△ACD的外接圆

对于一个关于 $\text{[math]}$ 的代数式 $\text{[math]}$ ，若存在一个系数为正数关于 $\text{[math]}$ 的单项式 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的结果是所有系数均为整数的整式，则称单项式 $\text{[math]}$ 为代数式 $\text{[math]}$ 的“整系单项式”，例如：

当 $\text{[math]}$ 时，由于 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的整系单项式；

当 $\text{[math]}$ 时，由于 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的整系单项式；

当 $\text{[math]}$ 时，由于 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的整系单项式；

当 $\text{[math]}$ 时，由于 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的整系单项式；

显然，当代数式 $\text{[math]}$ 存在整系单项式 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有无数个，现把次数最低，系数最小的整系单项式 $\text{[math]}$ 记为 $\text{[math]}$ ，例如： $\text{[math]}$ .

阅读以上材料并解决下列问题：

（1）课本再现：如图1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点分别为A，B．则图中的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有什么关系？请说明理由．

（2）知识应用：如图2， $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 相切于点A、B、C，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M，交 $\text{[math]}$ 于点E，过点M作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于N．

①求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；

②当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的半径及图中阴影部分的面积．

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