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题型：综合题题类：模拟题难易度：困难

浙江省宁波市慈溪市2021年数学中考模拟试卷（4月）

（1）、（基础巩固）

如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点C，分别过 $\text{[math]}$ 两点作 $\text{[math]}$ ，垂足分别为 $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

（2）、（尝试应用）

如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，D是 $\text{[math]}$ 上一点，过D作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 于点E.若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

（3）、（拓展提高）

如图3，在 $\text{[math]}$ 中，在 $\text{[math]}$ 上取点E，使得 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.

举一反三

如图，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上的一个动点，作 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，连 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积的最大值为{#blank#}1{#/blank#}．

在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 边上一点(不与点 $\text{[math]}$ 重合)．

规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的角平分线AP和 $\text{[math]}$ 的平分线CF相交于点D.AD交CB与点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作 $\text{[math]}$ 交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E.连接CE并延长交FG于点H.

【问题提出】已知：点E ， F分别为正方形ABCD的边BC ， CD上的点，∠EAF＝45°，如图1，探究图中线段EF ， BE ， DF之间的数量关系．

【思路探索】王明同学的探究思路如下：延长CB到点G ，使BG＝DF ，连接AG ．

等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为平面内一点．

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