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题型：综合题题类：模拟题难易度：困难

北京市东城区2021年中考数学一模试卷

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知正方形 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，M，N为该正方形外两点， $\text{[math]}$ ．给出如下定义：记线段MN的中点为P，平移线段MN得到线段 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 分别落在正方形 $\text{[math]}$ 的相邻两边上，或线段 $\text{[math]}$ 与正方形的边重合（ $\text{[math]}$ 分别为点M，N，P的对应点），线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值称为线段MN到正方形 $\text{[math]}$ 的“平移距离”．

（1）、如下图，平移线段MN，得到正方形 $\text{[math]}$ 内两条长度为1的线段 $\text{[math]}$ ，则这两条线段的位置关系是；若 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点，在点 $\text{[math]}$ 中，连接点P与点的线段的长度等于线段MN到正方形 $\text{[math]}$ 的“平移距离”；

（2）、如图，已知点 $\text{[math]}$ ，若M，N都在直线BE上，记线段MN到正方形 $\text{[math]}$ 的“平移距离”为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

（3）、若线段MN的中点P的坐标为 $\text{[math]}$ ，记线段MN到正方形 $\text{[math]}$ 的“平移距离”为 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

举一反三

已知抛物线l：y=ax²+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．

若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b=4ab，如2*3=4×2×3=24．

在数学中，为了简便，记 $\text{[math]}$ .1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，…，n!=n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×3×2×1，则 $\text{[math]}$ ={#blank#}1{#/blank#}．

规定一种运算： $\text{[math]}$ =ad﹣bc，例如 $\text{[math]}$ =2×5﹣3×4=﹣2，请你按照这种运算的规定，计算 $\text{[math]}$ 的值．

阅读下列两则材料，回答问题，

材料一：定义直线y＝ax+b与直线y＝bx+a互为“互助直线”，例如，直线y＝x+4与直y＝4x+1互为“互助直线“

材料二：对于平面直角坐标系中的任意两点P₁（x₁ ， y₁）、P₂（x₂ ， y₂），P₁、P₂两点间的直角距离d（P₁ ， P₂）＝|x₁﹣x₂|+|y₁﹣y₂|.例如：Q₁（﹣3，1）、Q₂（2，4）两点间的直角距离为d（Q₁ ， Q₂）＝|﹣3﹣2|+|1﹣4|＝8

设P₀（x₀ ， y₀）为一个定点，Q（x，y）是直线y＝ax+b上的动点，我们把d（P₀ ， Q）的最小值叫做P₀到直线y＝ax+b的直角距离.

定义一种关于⊙的新运算，观察下列各式：

2⊙（-1）=2×3-1

-3⊙4=-3×3+4

5⊙2=5×3+2

-1⊙（-3）=-1×3-3

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