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题型：综合题题类：模拟题难易度：困难

山东省济南市天桥区2021年中考数学一模试卷

如图1，已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等腰直角三角形，点 $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．

（1）、观察猜想：如图2，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转，连接 $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 于点F ．当 $\text{[math]}$ 的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时，

① $\text{[math]}$ 的值为；

② $\text{[math]}$ 的度数为度；

（2）、类比探究：如图3，继续旋转 $\text{[math]}$ ，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．

（3）、拓展延伸：若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 所在的直线垂直于 $\text{[math]}$ 时，请你直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长．

举一反三

如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为{#blank#}1{#/blank#}

【探究证明】某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．

等腰Rt△PAB中，∠PAB=90°，点C是AB上一点（与A、B不重合），连接PC，将线段PC绕点C顺时针旋转90°，得到线段DC．连接PD，BD．探究∠PBD的度数，以及线段AB与BD、BC的数量关系．

如图，四边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

定义：一边上的中线与另一边的夹角为30°的三角形称作美妙三角形。如图1，△ABC中，AD为中线，若∠DAC=30°，则△ABC为美妙三角形。

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