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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

河南省平顶山市郏县2020届九年级下学期数学期中考试试卷

问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S₁ ， △BND的面积为S₂.

（1）、初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则S₁S₂=；

（2）、类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，求S₁S₂的值；

（3）、延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α.

（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S₁S₂的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）.

（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S₁S₂的表达式，不必写出解答过程.

举一反三

有一面积为5 $\text{[math]}$ 的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为{#blank#}1{#/blank#}．

如图，在□ABCD中，点E，F分别在边AD、BC上，EF=2，∠DEF=60°将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC'D’，ED’交BC于点G，则△GEF的周长为{#blank#}1{#/blank#}．

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足 $\text{[math]}$ ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF＝2，AF＝3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan∠E＝ $\text{[math]}$ ；④S_△DEF＝ $\text{[math]}$ ．其中正确的是结论的个数是（）

如图，抛物线y=-x²+k与x轴交于A(-3，0)和B(3，0)，有一动点C在线段AB上从点A运动到点B(不与A，B重合)，分别以AC，BC为底边作等腰△ADC和等腰△BEC，点D，E恰好落在此抛物线上，在整个运动过程中， ∠DCE的变化情况是（）

如图，点P是AOB内任意一点，OP=5cm，点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，连接CD交OA于点E，交OB于点F，当△PEF的周长是5cm时，∠AOB的度数是{#blank#}1{#/blank#}度.

如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，点H为BC上一点，连接AH交BD于点G．若AD＝3，BC＝9，BH：HC＝1：2，则GO：BG＝（）

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