如图，在△ABC中，AC=6cm，AB=9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连结DE，已知DE=2cm，BD=3cm．求：

题型：综合题题类：常考题难易度：普通

角平分线的性质++++++3

如图，在△ABC中，AC=6cm，AB=9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连结DE，已知DE=2cm，BD=3cm．

求：

（1）、线段BC的长；

（2）、若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请用含a的代数式表示△ABC的面积．

举一反三

如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C为（　　）

已知∠MAN=120°，点C是∠MAN的平分线AQ上的一个定点，点B，D分别在AN，AM上，连接BD．

【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多……

（1）【问题提出】如图①， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，说明： $\text{[math]}$ ．

小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点D，利用“三角形相似”．

小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，利用“等面积法”．

请根据小明或小红的思路，选择一种并完成说明；

（2）【理解应用】填空：如图②， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D，则 $\text{[math]}$ 长度为________；

（3）【深度思考】如图③，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D是边 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在直线折叠点C恰好落在边 $\text{[math]}$ 上的E点处．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为_______；

（4）【拓展升华】如图④， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的角平分线， $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于E，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的长为_______．

如图1，已知线段 $\text{[math]}$ ，点C为 $\text{[math]}$ 上的一个动点，点D，E分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点，

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F．

如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：四边形CEDF是正方形．

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