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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

辽宁省鞍山市岫岩县2021届九年级上学期数学12月月考试卷

如图1、2是两个斜边比为 $\text{[math]}$ 的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.

（1）、在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点E，F，如图4，请直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的关系：；

（2）、若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和 $\text{[math]}$ 延长线分别与 $\text{[math]}$ 交于点E，F，如图5，此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

（3）、如图6，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E、F分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，满足 $\text{[math]}$ 的周长等于正方形 $\text{[math]}$ 的周长的一半， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别与对角线 $\text{[math]}$ 交于M、N，试问线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由.

举一反三

如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为 {#blank#}1{#/blank#}．

如图①已知△ACB和△DCE为等腰直角三角形，按如图的位置摆放，直角顶点

C重合．

已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E.

当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD＋OE＝ $\text{[math]}$ OC；

当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M为AB边的中点，将Rt△ABC绕点M旋转，使点C与点A重合得△DEA，AE交CB于点N．若AB=2 $\text{[math]}$ ，AC=4，则CN的长为（）

定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”，这条中线为“奇异中线”。

如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为点M，N，求证：DP＝MN.

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