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题型：综合题题类：常考题难易度：普通

北京师大二附中海淀学校2020-2021学年八年级上学期数学期中试卷

在学习平方根的过程中，同学们总结出：在 $\text{[math]}$ 中，已知底数a和指数x，求幂N的运算是乘方运算；已知幂N和指数x，求底数a的运算是开方运算. 小茗提出一个问题：“如果已知底数a和幂N，求指数x是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小茗善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究.

小茗课后借助网络查到了对数的定义：

小茗根据对数的定义，尝试进行了下列探究：

（1）、∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ；

∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ；

∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ；

∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ；

计算： $\text{[math]}$ ；

（2）、计算后小茗观察（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，例如： $\text{[math]}$ ；（用对数表示结果）

（3）、于是他猜想： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）.

请你将小茗的探究过程补充完整，并再举一个例子验证（3）中他的猜想.

举一反三

对于任意有理数 $\text{[math]}$ ，我们规定符号 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$

例如： $\text{[math]}$ =4-6=-2．

刘谦的魔术表演风靡全国，小明同学也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意有理数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的有理数：a²+b﹣1．例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到3²+（﹣2）﹣1=6．现将有理数对（﹣1，﹣2）放入其中，则会得到（）

定义一种新运算 $\text{[math]}$ ．

定义：若一个三角形一条边上的高长为这条边长的一半，则称该三角形为这条边上的“半高”三角形，这条高称为这条边上的“半高”，如图，△ABC是BC边上的“半高”三角形.点P在边AB上，PQ∥BC交AC于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，连接MQ.

对任意一个四位正整数数m，若其千位与百位上的数字之和为9，十位与个位上的数字之和也为9，那么称m为“重九数”，如：1827、3663.将“重九数”m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到一个新的四位正整数数n，如：m＝2718，则n＝1827，记D（m，n）＝m+n.

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于点 $\text{[math]}$ 和实数 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：当 $\text{[math]}$ 时，以点P为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆，称为点P的k倍相关圆.

例如，在如图1中，点 $\text{[math]}$ 的1倍相关圆为以点P为圆心，2为半径的圆.

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