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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

河南省2021届九年级上学期数学第一次联考试卷

在平面直角坐标系中，坐标原点为O，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点A，它的顶点为B，连接 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为抛物线的伴生三角形，直线 $\text{[math]}$ 为抛物线的伴生直线.

（1）、如图1，求抛物线 $\text{[math]}$ 的伴生直线 $\text{[math]}$ 的解析式.

（2）、已知抛物线 $\text{[math]}$ 的伴生直线为 $\text{[math]}$ ，求k的值.

（3）、如图2，若抛物线 $\text{[math]}$ 的伴生直线是 $\text{[math]}$ ，且伴生三角形 $\text{[math]}$ 是直角三角形，求此抛物线的解析式.

举一反三

如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA．过点P作PD⊥OB于D点

给出下列命题及函数y=x与y=x²和 $\text{[math]}$ 的图象：

①如果 $\text{[math]}$ ＞a＞a² ，那么0＜a＜1；

②如果a²＞a＞ $\text{[math]}$ ，那么a＞1或﹣1＜a＜0；

③如 $\text{[math]}$ ＞a²＞a，那么﹣1＜a＜0；

④如果a²＞ $\text{[math]}$ ＞a，那么a＜﹣1．则（）

如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x²+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

如图，直线 $\text{[math]}$ 与坐标轴分别交于点A、B，与直线 $\text{[math]}$ 交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）。

如图，直线y＝ $\text{[math]}$ x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣ $\text{[math]}$ x²+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为 C．

已知二次函数：y＝ax²+（2a+1）x+2（a＜0）.

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