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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

陕西省西安市莲湖区2019-2020学年七年级下学期数学期末考试试卷

（2020•锦州模拟）问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系.

方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；

小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；

（1）、问题解决：

如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；

（2）、如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明.

举一反三

如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（）

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE.

如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别是以 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为一边在形外所作的等边三角形， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于O．

在平面直角坐标系中，AB交y轴和x轴于A、B两点，点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且m，n满足 $\text{[math]}$ ．

（1）求点A、B的坐标；

（2）过点A作 $\text{[math]}$ ，截取 $\text{[math]}$ ，点D在第一象限内，过点D作 $\text{[math]}$ 轴于C，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿y轴向下运动，连接DP、DO，若P点运动的时间为t，三角形PDO的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围．

（3）在（2）的条件下，连接AC，在坐标平面内是否存在点M，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC与点G ， BD平分∠ABC交AC于点D ， AG、BD相交于点F ， BE⊥AG交AG的延长线于点E ，连接CE ，下列结论中正确的是（　　）

①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD ．

小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图， $\text{[math]}$ 表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠进小球时，小球从 $\text{[math]}$ 摆到 $\text{[math]}$ 位置，此时过点B作 $\text{[math]}$ 于点D，且测得到点B到 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ；当小球摆到 $\text{[math]}$ 位置时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作 $\text{[math]}$ 于点E，测得点C到 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ．

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