- 二一组卷

题型：综合题题类：模拟题难易度：困难

山西省晋文源2020年中考数学模拟试卷

综合与实践

正方形内“奇妙点”及性质探究

定义：如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，以 $\text{[math]}$ 为直径作半圆 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作 $\text{[math]}$ ，与半圆 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .我们称点 $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形 $\text{[math]}$ 无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．

性质探究：如图2，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为半圆 $\text{[math]}$ 的切线．

证明：连接 $\text{[math]}$ ．

由作图可知， $\text{[math]}$ ，

又 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ 是半圆 $\text{[math]}$ 的切线．

问题解决：

（1）、如图3，在图2的基础上，连接 $\text{[math]}$ .请判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

（2）、在（1）的条件下，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系；

（3）、如图4，已知点 $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 的一个“奇妙点”，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，请写出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；