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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

江苏省无锡市锡山区2020届九年级下学期数学期中考试试卷

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²－2ax＋3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点A的坐标为(－1，0)，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E.

（1）、填空：a＝，点B的坐标是；

（2）、连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当△MNF的周长取得最大值时，求FP＋ $\text{[math]}$ PC的最小值；

（3）、在（2）中，当△MNF的周长取得最大值时，FP＋ $\text{[math]}$ PC取得最小值时，如图2，把点P向下平移 $\text{[math]}$ 个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G.在旋转过程中，是否存在一点G，使得GQ′＝OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由.

举一反三

二次函数y=﹣（x﹣1）²+3的图象的顶点坐标是（　　）

矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（10，0）、C（0，3），直线 $\text{[math]}$ 与BC相交于点D，抛物线y=ax²+bx经过A、D两点．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= $\text{[math]}$ x²﹣ $\text{[math]}$ x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

已知抛物线的顶点为（2，﹣4）并经过点（﹣2，4），点A在抛物线的对称轴上并且纵坐标为﹣ $\text{[math]}$ ，抛物线交y轴于点N．如图1．

如图，等边 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 表示线段 $\text{[math]}$ 的长度，显然， $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的二次函数，则这个函数顶点式是{#blank#}1{#/blank#}．

已知：如图1，抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ，平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线与该抛物线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 左侧），根据对称性 $\text{[math]}$ 恒为等腰三角形，我们规定：当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，就称 $\text{[math]}$ 为该抛物线的“完美三角形”．

（1）①如图2，求出抛物线 $\text{[math]}$ 的“完美三角形”斜边 $\text{[math]}$ 的长；

②抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的完美三角形的斜边长的数量关系是______；

（2）若抛物线 $\text{[math]}$ 的“完美三角形”的斜边长为4，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）若抛物线 $\text{[math]}$ 的“完美三角形”斜边长为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的最大值为-1，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值．

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