已知函数f（x）=alnx﹣x2，a∈R，

题型：解答题题类：常考题难易度：困难

2015-2016学年广东省实验中学、广雅中学、佛山一中联考高二下学期期末数学试卷（理科）

已知函数f（x）=alnx﹣x² ， a∈R，

（1）、求函数f（x）的单调区间；

（2）、若x≥1时，f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；

（3）、设a＞0，若A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）为曲线y=f（x）上的两个不同点，满足0＜x₁＜x₂ ，且∃x₃∈

（x₁ ， x₂），使得曲线y=f（x）在x=x₃处的切线与直线AB平行，求证：x₃＜ $\text{[math]}$ ．

举一反三

如图是函数y=f（x）的导函数的图象y=f'（x），给出下列命题：

①-3是函数y=f（x）的极值点；
②-1是函数y=f（x）的最小值点；
③y=f（x）在处切线x=0的斜率小于零；
④y=f（x）在区间（-3，1)上单调递增。
则正确命题的序号是（）

（Ⅰ）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（Ⅱ）求证：存在唯一的 $\text{[math]}$ ，使得曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线的斜率为 $\text{[math]}$ ；

（Ⅲ）比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小，并加以证明．

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