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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

河北省唐山市乐亭县2018-2019学年八年级上学期数学期中考试试卷

定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是“和谐分式”．

（1）、下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号）；

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$

（2）、将“和谐分式” $\text{[math]}$ 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： $\text{[math]}$ =+；

（3）、应用：先化简 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ÷ $\text{[math]}$ ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．

举一反三

先化简，再求值： $\text{[math]}$ ，其中x= $\text{[math]}$

取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，即：5 $\text{[math]}$ 16 $\text{[math]}$ 8 $\text{[math]}$ 4 $\text{[math]}$ 2 $\text{[math]}$ 1，如果自然数m最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的最小值为{#blank#}1{#/blank#}．

（本题满分10分）

先化简，再求值： $\text{[math]}$ ，其中a=（ $\text{[math]}$ ）^-1- $\text{[math]}$ +（π-3.14）⁰+2cos30°

观察下列依次排列的一列数： $\text{[math]}$ 的排列规律，则第10个数是 {#blank#}1{#/blank#} .

等边三角形纸板 $\text{[math]}$ 在数轴上的位置如图所示，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 对应的数分别为0和 $\text{[math]}$ ，若三角形 $\text{[math]}$ 绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点 $\text{[math]}$ 所对应的数为1，则翻转第2023次后，点 $\text{[math]}$ 所对应的数是（）

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