浙江省宁波市鄞州区鄞州实验中学2017-2018学年九年级上学期第二次学科竞赛数学试卷

修改时间：2024-07-13 浏览次数：552 类型：竞赛测试编辑

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一、选择题

1. 已知a是实数，并且a2﹣2010a+4=0，则代数式 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . 2009 B . 2010 C . 2011 D . 2012

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2.
如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y= $\text{[math]}$ （x＞0）上，则图中S_△OBP=（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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3. 如图，在中，，，， $\text{[math]}$ ，的平分线相交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作交 $\text{[math]}$ 于点，则的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图，△ABC的两条高线BD，CE相交于点F，已知∠ABC=60°，AB=10，CF=EF，则△ABC的面积为（）

A . 20 $\text{[math]}$ B . 25 $\text{[math]}$ C . 30 $\text{[math]}$ D . 40 $\text{[math]}$

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5. [a]表示不超过a的最大整数．若实数a满足方程 $\text{[math]}$ ，则[a]=（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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6. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（ $\text{[math]}$ ， 3），P是抛物线 $\text{[math]}$ 上一个动点，则∆PMF周长的最小值是（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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7. 如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE＝2 $\text{[math]}$ ， AC＝3 $\text{[math]}$ ， BC＝6，则⊙O的半径是（　　）

A . 3 B . 4 C . 4 $\text{[math]}$ D . 2 $\text{[math]}$

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8. 已知点A在函数 $\text{[math]}$ （x>0）的图象上，点B在直线 $\text{[math]}$ （k为常数，且k $\text{[math]}$ 0）上，若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y₁ ， y₂ 图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）

A . 只有1对或2对 B . 只有1对 C . 只有2对 D . 只有2对或3对

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二、填空题

9. 已知a为实数，则代数式 $\text{[math]}$ 的最小值为。

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10. n个单位小立方体叠放在桌面上，所得几何体的主视图和俯视图均如图所示．那么n的最大值与最小值的和是．

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11. 如图，直线 $\text{[math]}$ 分别交x轴、y轴于A、B两点，已知点C坐标为（6，0），若直线AB上存在点P，使∠OPC=90°，则m的取值范围是。

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12. 如图，已知 $\text{[math]}$ 为等腰△ $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，如果点 $\text{[math]}$ 为△ $\text{[math]}$ 的内心，则 $\text{[math]}$ 。

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13. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ，且与边 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为．

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14. 如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点是法国数学家和教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=。

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15. 如图，直线 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的距离为1， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的距离为2，等腰 △ABC的顶点分别在直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，AB=AC，∠BAC=120° ，则等腰三角形的底边长为。

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三、简答题：

16. 已知 $\text{[math]}$ 为整数，且满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值。

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17. 已知AB是⊙O的直径，C、E是⊙O上的点， CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F，过点E作 EG⊥OC，垂足为G，延长EG交OA于H。

求证：

（1） HO·HF=HG·HE；

（2） FG=CD

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18. 如图1，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点(不与点A重合)，∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x

（1） CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，求出线段CD的长度；

（2） △PBC的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值，并求出此时的x的值；若不存在，请说明理由；

（3）当x取何值时，△ABP和△CDP相似；

（4）如图2，当以C为圆心，以CP为半径的圆与线段AB有公共点时，求x的值。

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