【提出问题】三个有理数a，b，c满足 ， 求的值．

【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．

①a，b，c都是正数，即 ， ， 时，则；

②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设 ， ， ， 则 ．

综上所述，值为3或 ．

【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：

【操作与尝试】（1）操作一：折叠纸条，使数轴上表示数1的点与表示数的点重合，则此时数轴上表示数4的点与数轴上表示数___________的点重合；

【探究与应用】（2）操作二：现打开这张条后，再次折叠纸条，使数轴上表示数6的点与表示数的点重合．回答下列问题：

①数轴上表示数9的点与数轴上表示数_______的点重合；

②若这样折叠纸条后，数轴上的点A和点B重合，且A、B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求点A、点B所表示的数分别是多少？

③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为 ． 当点P到点A、点B的距离之和为12时，直接写出的值．

【初步探究】（1）直接写出计算结果：_____，______．

【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算．

【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式：

______，=_______，=______（其中 ， n为正整数）．

（3）请利用（2）中结论计算：

．

现规定：求若干个相同且都不等于0的有理数的商的运算叫做除方，例如： ， 类比有理数的乘方，我们把 ， 写作： ， 读作“2的圈4次方”，  ， 写作： ， 读作“的圈3次方”，一般地把 ， 写作： ， 读作“的圈次方”．

【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘法，

我们把写作 ， 读作“2的圈3次方”，

写作 ， 读作“的圈4次方”，

一般地，把写作 ， 读作“a的圈n次方”．

【初步探究】

（1）直接写出计算结果：_______，_______．

【深入思考】

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算．那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

除方乘方（幂的形式）；

（2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算化成幂的形式：

；；

（3）总结：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式，即_______．

（4）算一算： ．

【问题解决】

（1）在数轴上，A点表示的数是2，B点表示的数是 ， 则点A 与点B 之间的距离____．

（2）如果点A 在数轴上表示的数为x，点B在数轴上表示的数为 ， 点A 与点 B之间的距离AB为5，那么____．

（3）若 ， 则d的最小值为____，此时正整数x的值为____．

【关联运用】

（4）点A、B、C是数轴上的三点，A点表示数是 ， B点表示数是1，C点表示数是7，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点 C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A 与点B之间的距离表示为 ， 点B与点C之间的距离表示为 ．

请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．

我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数 ， 对应点之间的距离．在数轴上，点 A，B的位置如图1所示， ．

【问题解决】

（1）已知 ， 则x的值为________．

（2）代数式的最小值为________．

（3）代数式的最大值为________．

（4）运用四：如图2所示，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是 ， F点表示数是 ， G点表示数是6，点E，F，G开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为 ， 点E与点G之间的距离表示为 ， 点F与点G之间的距离表示为 ， 若的值是一个定值，试确定m的值．

【基础设问】

（1）下列说法可以用表示的是_______．

A．a的2倍与b的和       B．a与b的2倍的和       C．a与b的和的2倍       D.2与a的乘积与b的和

（2）在围成的长方形中，分别以它的两个顶点为圆心，b为半径作两个不重叠的四分之一圆，如图1①用代数式表示阴影部分的面积S；

②当时，求阴影部分的面积．（结果保留π）

【能力设问】

（3）若有理数a，b在数轴上的位置如图2所示，且c为最大的负整数．化简：_______．

（4）若 ， 则用绳子围成的是正方形，图3图形都是由同样大小的正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个正方形，第②个图形中一共有12个正方形，第③个图形中一共有21个正方形…按此规律排列，则第⑧个图形中正方形的个数为_______．

【拓展设问】

（5）若a，b，m组成一个三位数 ， 阅读下列材料，判断三位数能否被7整除．

【类比解决】尝试用“割尾法”判断455能否被7整除．

【推理验证】已知三位数 ．

②请用含a，b，m的代数式表示“割尾法”后所得的差；

③现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证，下面是思路分析．分析：要说明能被7整除，需把表示成7的倍数．已知（i）．因为是7的倍数，可设①中的代数式（k为整数）（ii）．只需把（ii）式变形代入（i）式即可．请根据上述分析写出推理过程．

设是不为0和1的有理数，我们把1与的倒数的差，即称为的倒数差，如：2的倒数差是 ， 的倒数差是 ．

【探索中理解】

若 ， 是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推．

（1）先写出计算 ， ， 的算式，在求出它们的值．

（2）求的值为____________．（直接写出答案）

【应用拓展】

设 ， ， 都是不为0和1的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组 ， 第2次变换后得数组 ， …，第次变换后得到数组 ．

（3）若数组确定为 ．

则的值为_____________．（直接写出答案）