上海市市西中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

修改时间：2024-12-31 浏览次数：3 类型：期中考试编辑

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一、填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共计54分）

1. 集合 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 的真子集的个数是．

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2. 函数 $\text{[math]}$ 的定义域是．

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3. 若扇形的圆心角为 $\text{[math]}$ ，半径为2，则扇形的弧长 $\text{[math]}$ ．

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4. 记 $\text{[math]}$ 是虚数单位，设复数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 的虚部为.

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5. 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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6. 已知数列 $\text{[math]}$ 为等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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7. 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则实数a的取值范围是.

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8. 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $\text{[math]}$ ，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 $\text{[math]}$ 叫做信噪比，按照香农公式，若不改变宽带W，而将信噪比从1000提升至2000，则C大约增加了%.（参考数值 $\text{[math]}$ ）

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9. 函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）在 $\text{[math]}$ 上存在最小值 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的最小值是.

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10. 数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ 为正整数， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ 若关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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12. 对任意两个非零向量 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ .若非零向量 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角是锐角，且 $\text{[math]}$ 是整数，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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二、选择题（共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共计18分）

13. a，b中至少有一个不为零的充要条件是（）

A . ab＝0 B . ab>0 C . a²＋b²＝0 D . a²＋b²>0

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14. 下列四个命题：
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
③若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
④若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
其中正确命题的个数有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ ，现有如下四个命题：
甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\text{[math]}$ ；
乙：该函数图象可以由 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度得到；
丙：该函数在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增；
丁：该函数满足 $\text{[math]}$ ．
如果只有一个假命题，那么该命题是（）

A . 甲 B . 乙 C . 丙 D . 丁

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16. 我们知道，函数 $\text{[math]}$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，已知函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的可导函数，其导函数为 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 是奇函数，函数 $\text{[math]}$ 是偶函数，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 函数 $\text{[math]}$ 是奇函数 D . $\text{[math]}$

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三、解答题（共5题，共计78分）

17. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值.

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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
（1）证明： $\text{[math]}$ 是等比数列；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

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19. 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台 $\text{[math]}$ ，已知射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为两边夹角为 $\text{[math]}$ 的公路（长度均超过3千米），在两条公路 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上分别设立游客上下点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，从观景台 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 建造两条观光线路 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，测得 $\text{[math]}$ 千米， $\text{[math]}$ 千米．

（1）求线段 $\text{[math]}$ 的长度；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求两条观光线路 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之和的最大值．

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20. 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）设 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的极值；

（3）若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上无零点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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21. $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 满足对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，都有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 连续的.

（1）请写出一个是 $\text{[math]}$ 连续的函数 $\text{[math]}$ （不必说明理由）；

（2）证明：若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 连续的，则 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 连续且是 $\text{[math]}$ 连续的；

（3）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 连续的，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值.

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上海市市西中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

一、填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共计54分）

二、选择题（共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共计18分）

三、解答题（共5题，共计78分）

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