广东省广州市天河区2021届高三数学三模试卷

修改时间：2024-07-13 浏览次数：130 类型：高考模拟编辑

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一、单选题

1. 设复数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点关于实轴对称，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知集合 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则所有 $\text{[math]}$ 的取值构成的集合为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -3 B . -2 C . 2 D . 3

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4. 若 $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大致图像为（）

A . B . C . D .

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6. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 设O为坐标原点，过拋物线 $\text{[math]}$ 的焦点F的直线交拋物线于A，B两点， $\text{[math]}$ 为线段AB的中点，则（）

A . 以线段AB为直径的圆与直线 $\text{[math]}$ 相切 B . $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 三角形ABO的面积最小值为4

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8. 若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 下列命题正确的是（）

A . 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 B . 对具有线性相关关系的变量x､y，有一组观测数据 $\text{[math]}$ ，其线性回归方程是 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值是 $\text{[math]}$ C . 已知样本数据 $\text{[math]}$ 的方差为4，则 $\text{[math]}$ 的标准差是4 D . 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. 关于空间两条不同直线 $\text{[math]}$ 和两个不同平面 $\text{[math]}$ ，下列命题正确的是（）

A . $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 双曲线C的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线C的方程为 $\text{[math]}$ B . 双曲线C的渐近线方程为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 为定值 D . 存在点P，使得 $\text{[math]}$

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12. 将函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，且 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 为奇函数 B . $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有4个极值点 D . 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则ω的最大值为5

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三、填空题

13. $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的定义域可以是．(写出一个符合条件的即可)

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15. 某校学生参加社会劳动实践活动，把一个半径为R的球形钢材切削成一个圆锥，当圆锥h的体积最大时，高为h，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线．如图①，取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的 $\text{[math]}$ 为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的 $\text{[math]}$ 擦掉，得到第2个图形(如图②)，重复上面的步骤，得到第3个图形(如图③)．这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线．云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”．则第5个图形的边长为；第n个图形的周长为．

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四、解答题

17. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别是 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ．

（1）求角A的值；

（2）若 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值

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18. 已知正项数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

（1）分别求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）将数列 $\text{[math]}$ 中与数列 $\text{[math]}$ 相同的项剔除后，按从条到大的顺序构成数列 $\text{[math]}$ ，记数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．

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19. 工厂经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有某甲､乙两种设备可以独立生产该部件．如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x(单位：mm)，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x满足： $\text{[math]}$ 为一级品， $\text{[math]}$ 为二级品， $\text{[math]}$ 为三级品

（1）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，若从这40件产品中随机抽取2件产品，记Y为这2件产品中一级品的个数，求Y的分布列和数学期望；

（2）为增加产量，工厂需增购设备，已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件．乙设备生产的产品中一､二､三级品的概率分别是 $\text{[math]}$ ，若将甲设备生产的产品的样本频率作为总体的概率．以工厂的利润作为决策依据，应选购哪种设备，请说明理由．

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20. 如图，在棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在底面上的投影 $\text{[math]}$ 恰为 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）过 $\text{[math]}$ 作与 $\text{[math]}$ 垂直的平面 $\text{[math]}$ ，交棱 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，试确定点 $\text{[math]}$ 的位置，并说明理由；

（2）若二面角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，求棱柱 $\text{[math]}$ 的体积．

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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆截直线 $\text{[math]}$ 所得弦长为 $\text{[math]}$

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）设 $\text{[math]}$ 为椭圆上一点，若过点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，且满足 $\text{[math]}$ 为坐标原点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；

（2）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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