北京市丰台区2021届高三理数二模试卷

1. 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. 下列函数中，在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -4 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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4. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为始边，它的终边与以原点O为圆心的单位圆的交点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知 $\text{[math]}$ 是三个不同的平面，a ， b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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6. “ $\text{[math]}$ ”是“直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相互垂直”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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7. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线与圆 $\text{[math]}$ 相切，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 将函数 $\text{[math]}$ 的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 某中学举行“十八而志，青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是（）

A . 15 B . 45 C . 60 D . 75

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10. 如图，半椭圆 $\text{[math]}$ 与半椭圆 $\text{[math]}$ 组成的曲线称为“果圆”，其中 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别是“果圆”与x轴，y轴的交点.给出下列三个结论：

① $\text{[math]}$ ；②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；③若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P ，使用 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

其中，所有正确结论的序号是（）

A . ①② B . ①③ C . ②③ D . ①②③

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11. 函数 $\text{[math]}$ 的值域为.

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12. 能够说明“若a ， b ， m均为正数，则 $\text{[math]}$ ”是假命题的一组整数a ， b的值依次为.

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13. 已知点 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 上的点，且点P到抛物线C焦点的距离为3，则 $\text{[math]}$ .

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14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 函数 $\text{[math]}$ 是定义域为R的奇函数，满足 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，给出下列四个结论：
① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的周期；

③ 函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增；

④ 函数 $\text{[math]}$ 所有零点之和为 $\text{[math]}$ .

其中，正确结论的序号是.

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16. 已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且满足___________.

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ .
从① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 这三个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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17. 某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组： $\text{[math]}$ ，整理得到如下频率分布直方图.根据所得的满意度的分数，将用户的满意度分为两个等级：

满意度的分数

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

满意度的等级

不满意

满意

（1）从使用该软件的用户中随机抽取1人，估计其满意度的等级为“满意”的概率；

（2）用频率估计概率，从使用该软件的所有用户中随机抽取2人，以X表示这2人中满意度的等级为“满意”的人数，求X的分布列和数学期望.

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18. 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M为棱 $\text{[math]}$ 上一点，平面 $\text{[math]}$ 与棱 $\text{[math]}$ 交于点N ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求证： $\text{[math]}$ ；

（3）若平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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19. 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

（2）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间.

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20. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线l交椭圆C于点A ， B.

（1）当直线l与x轴垂直时，求 $\text{[math]}$ ；

（2）在x轴上是否存在定点P ，使 $\text{[math]}$ 为定值？若存在，求点P的坐标及 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由.

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21. 设数集S满足：①任意 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ；②任意 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，则称数集S具有性质P.

（1）判断数集 $\text{[math]}$ 是否具有性质P ，并说明理由；

（2）若数集 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 具有性质P.
（i）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ 是等差数列；

（ii）当 $\text{[math]}$ 不是等差数列时，写出n的最大值.(结论不需要证明)

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北京市丰台区2021届高三理数二模试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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满意度的分数	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
满意度的等级	不满意	满意

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