北京平谷区2021届高三数学一模试卷

1. 若集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数是（）

A . 28 B . 56 C . 112 D . 256

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4. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（）

A . 3π B . 8π C . 12π D . 14π

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5. 设 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 6 B . 4 C . 3 D . 2

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6. 函数 $\text{[math]}$ 的图象与函数 $\text{[math]}$ 的图象的交点个数为（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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7. 已知函数 $\text{[math]}$ ．则“ $\text{[math]}$ 是偶函数“是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. 已知 $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ 的两个焦点，双曲线 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ 的一个交点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，那么双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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9. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 10

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10. 某时钟的秒针端点 $\text{[math]}$ 到中心点 $\text{[math]}$ 的距离为5cm，秒针绕点 $\text{[math]}$ 匀速旋转，当时间： $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 与钟面上标12的点 $\text{[math]}$ 重合，当 $\text{[math]}$ 两点间的距离为 $\text{[math]}$ （单位：cm），则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 函数 $\text{[math]}$ 的定义域是．

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12. 若抛物线 $\text{[math]}$ 上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为．

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13. 已知函数 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上单调递增，那么常数 $\text{[math]}$ 的一个取值．

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14. 从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去儿年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色．下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果）．

根据上述信息，下列结论中正确的是

①2015年这一年，高铁运营里程数超过0.5万公里；②2013年到2016高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率；③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年；④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增；其中所有正确结论的序号是．

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15. 已知在直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 等于；若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的高，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部或边界上运动，那么 $\text{[math]}$ 的最大值是．

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16. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正方形， $\text{[math]}$ 为正三角形，且侧面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值

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17. 在锐角 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分別为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；

（2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 $\text{[math]}$ 的面积．
条件① $\text{[math]}$ ；条件②： $\text{[math]}$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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18. 随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查，现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本，得到下表（单位：人次）：

满意度	老年人		中年人		青年人
满意度	酸奶	鲜奶	酸奶	鲜奶	酸奶	鲜奶
满意	100	120	120	100	150	120
不满意	50	30	30	50	50	80

（1）从样本中任取1个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；

（2）从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机选取1人，估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率；

（3）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写结果）．

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19. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，并且经过 $\text{[math]}$ 点．

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）设过点 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点，与椭圆的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值．

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20. 已知函数 $\text{[math]}$

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，过点 $\text{[math]}$ 可作几条直线与曲线 $\text{[math]}$ 相切？请说明理由．

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21. 已知数列 $\text{[math]}$ ，具有性质P：对任意 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，两数中至少有一个是该数列中的一项， $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和．

（1）分别判断数列0，1，3，5与数列0，2，4，6是否具有性质P：

（2）证明： $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ；

（3）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 成等差数列．

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北京平谷区2021届高三数学一模试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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