浙江省杭州地区(含周边)重点中学2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

修改时间：2024-07-13 浏览次数：133 类型：期中考试编辑

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一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 复数 $\text{[math]}$ （i是虚数单位）在复平面内对应的点在（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 若实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 将函数 $\text{[math]}$ 向左至少平移多少个单位，使得到的图像关于 $\text{[math]}$ 轴对称（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 函数 $\text{[math]}$ 的部分图象大致为（）

A . B . C . D .

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6. 已知正项等比数列 $\text{[math]}$ 的公比不为1， $\text{[math]}$ 为其前 $\text{[math]}$ 项积，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1:3 B . 3:1 C . 3:5 D . 5:3

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7. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的极小值点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 在 $\text{[math]}$ 中，点D满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则当角A最大时，cosA的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若恰有3个互不相同的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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二、双空题

11. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

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12. 二项展开式 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

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13. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 既有最大值又有最小值，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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三、填空题

15. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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16. 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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17. 已知平面向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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四、解答题

18. 已知在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；

（2）求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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19. 如图，三棱台 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 为等腰梯形， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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20. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求满足 $\text{[math]}$ 的最大整数 $\text{[math]}$ ．

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21. 如图，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的左顶点，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．

（Ⅰ）若点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 的准线上，求抛物线 $\text{[math]}$ 的标准方程：

（Ⅱ）若直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且倾斜角和直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角互补，交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，

（i）证明：点 $\text{[math]}$ 的横坐标是定值，并求出该定值：

（ii）当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求 $\text{[math]}$ 的值．

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22. 已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ．

（1）证明：函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有唯一零点；

（2）记 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的零点，证明： $\text{[math]}$ ．其中 $\text{[math]}$ …为自然对数的底数．

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