中考备考专题复习：相似与位似

1. 下列各组线段长度成比例的是（）

A . 1cm、2cm、3cm、4cm B . 1cm、3cm、4.5cm、6.5cm C . 1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cm D . 1cm、2cm、2cm、4cm

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2.
如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . BC²=AB•BC C . $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ≈0.618

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3. 设（2y﹣z）：（z+2x）：y=1：5：2，则（3y﹣z）：（2z﹣x）：（x+3y）=（　　）

A . 1：5：7 B . 3：5：7 C . 3：5：8 D . 2：5：8

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4.
如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 $\text{[math]}$ ，那么点B′的坐标是（）

A . （－2，3） B . （2，－3） C . （3，－2）或（－2，3） D . （－2，3）或（2，－3）

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5. 已知k= $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ +n²+9=6n，则关于自变量x的一次函数y=kx+m+n的图象一定经过第（　　）象限．

A . 一、二 B . 二、三 C . 三、四 D . 一、四

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6. 在△ABC中，AB=AC=1，BC=x，∠A=36°.则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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7. 线段AB=10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC与AB的关系是（）

A . AC= $\text{[math]}$ AB B . AC= $\text{[math]}$ AB C . AC= $\text{[math]}$ AB D . AC= $\text{[math]}$ AB

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8. 如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）

A . 5：8 B . 3：8 C . 3：5 D . 2：5

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9. 在△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的△DEF最长的一边是36，则△DEF最短的一边是（　　）

A . 72 B . 18 C . 12 D . 20

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10.
如图，在5×5的正方形方格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作一个与△ABC相似的△DEF ，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则△DEF的最大面积是（　　）.

A . 5 B . 10 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11.
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S_△_ADE：S_△_CDB的值等于（　　）

A . 1： $\text{[math]}$ B . 1： $\text{[math]}$ C . 1：2 D . 2：3

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12.
如图的矩形ABCD中，E点在CD上，且AE＜AC．若P、Q两点分别在AD、AE上，AP：PD=4：1，AQ：QE=4：1，直线PQ交AC于R点，且Q、R两点到CD的距离分别为q、r，则下列关系何者正确？（　　）

A . q＜r，QE=RC B . q＜r，QE＜RC C . q=r，QE=RC D . q=r，QE＜RC

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13. 已知△ABC∽△DEF，∠A=∠D，∠C=∠F且AB：DE=1：2，则EF：BC=．

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14.
△ABC中，∠A=90°，AB=AC ， BC=63cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是从下往上数第张．

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15.
如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，2 $\text{[math]}$ ），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为

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16.
如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有（写出所有正确结论的序号）
①△CMP∽△BPA；
②四边形AMCB的面积最大值为10；
③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；
④线段AM的最小值为2 $\text{[math]}$ ；
⑤当△ABP≌△ADN时，BP=4 $\text{[math]}$ ﹣4．

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17.
如图，反比例函数y= $\text{[math]}$ （k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为．

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18.
如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）

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19.
已知：如图，△ABC∽△ADE ， ∠A=45°，∠C=40°．求：∠ADE的度数．

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20.
如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且AB=9，AC=6，AD=3，若使△ADE与△ABC相似，求AE的长．

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21.
如图，已知△ABC．只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个△DEF，使得△DEF∽△ABC，且EF= $\text{[math]}$ BC．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）

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22.
在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁；
（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A₁B₁C₁的位似图形△A₂B₂C₂ ，使△A₂B₂C₂与△A₁B₁C₁的相似比为2：1；
（3）若每一个方格的面积为1，则△A₂B₂C₂的面积为．

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23.
尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c．
求证：a²+b²=5c²
该同学仔细分析后，得到如下解题思路：
先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故 $\text{[math]}$ ，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证

（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．

（2）
利用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG²+MH²的值．

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24.
如图1，在直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+b交x轴，y轴于点E，F，点B的坐标是（2，2），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A、C，点D是线段CO上的动点，以BD为对称轴，作与△BCD或轴对称的△BC′D．

（1）当∠CBD=15°时，求点C′的坐标．

（2）当图1中的直线l经过点A，且k=﹣ $\text{[math]}$ 时（如图2），求点D由C到O的运动过程中，线段BC′扫过的图形与△OAF重叠部分的面积．

（3）当图1中的直线l经过点D，C′时（如图3），以DE为对称轴，作于△DOE或轴对称的△DO′E，连结O′C，O′O，问是否存在点D，使得△DO′E与△CO′O相似？若存在，求出k、b的值；若不存在，请说明理由．

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中考备考专题复习：相似与位似

一、单选题

二、填空题

三、作图题

四、解答题

五、综合题

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