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题型：解答题题类：常考题难易度：困难

广东省华南师范大学附属中学2017-2018学年高二上学期理数10月月考试卷

如图，已知椭圆 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上且不在 $\text{[math]}$ 轴上的任意一点，直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 与椭圆的交点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点．

（1）、求椭圆的标准方程；

（2）、设直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 斜率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

①证明： $\text{[math]}$ ；

②问直线 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ？若存在，求出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，说明理由．

举一反三

椭圆 $\text{[math]}$ 的两焦点分别为F₁、F₂ ，以F₁、F₂为边作正三角形，若正三角形的第三个顶点恰好是椭圆短轴的一个端点，则椭圆的离心率为（）

已知点 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的左焦点，离心率为e ，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆 $\text{[math]}$ 交于点P ，且点P在抛物线 $\text{[math]}$ 上，则e²=（）

椭圆： $\text{[math]}$ （a＞b＞0），左右焦点分别是F₁ ， F₂ ，焦距为2c，若直线 $\text{[math]}$ 与椭圆交于M点，满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁ ，则离心率是（）

已知椭圆C₁： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，焦距为 $\text{[math]}$ ，抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点F是椭圆C₁的顶点．

（Ⅰ）求C₁与C₂的标准方程；

（Ⅱ）C₁上不同于F的两点P，Q满足 $\text{[math]}$ ，且直线PQ与C₂相切，求△FPQ的面积．

已知椭圆 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的离心率为 $\text{[math]}$ ，短轴长为 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（Ⅱ）若直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ，且线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线过定点 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

设 $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右焦点， $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的上顶点，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的另一个交点为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为{#blank#}1{#/blank#}.

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